„K čemu je básníkům matematika?“ zeptala se mne teta Běla při mé poslední vynucené návštěvě Prahy. (Ta neuvědomělá možná i k tomu, aby i v tomhle světě přežili?) Zkusme si ale nejprve otázku obrátit. K čemu je matematikům básnění? Stáda půl a jeden pár, chci by nejstarší si vzal; druhý zase polovic zbytku měj a dva navíc… atd. … a až pátý (nebo snad šestý?) odvede zbytku půl a ty dva své, beze zbytku stádo mé v dílů pět (takže pátý) se rozpadne, pamatuju si ze základní školy. Rozhodně se to pamatuje lépe, než: Otec, jehož život se nachýlil ke konci, zavolal syny a řekl jim: „Rozdělte si mé peníze tak ,jak nařídím.“ Nejstaršímu odkázal 1 bezant a sedminu toho, co zůstane. Druhorozenému 2 bezanty a sedminu zbytku. Třetímu 3 bezanty a sedminu zbytku. Každému ze synů tak rozdělil o 1 bezant více než předešlému a 1/7 toho, co vždy zbývalo a celou zbylou sumu předal poslednímu synovi. Synové se přesně řídili otcovými pokyny a zjistili, že odkázal všem stejně. Kolik měl synů a jak velký byl jejich majetek. (Úloha má jak algebraické, tak slovní – Fibonacciho – řešení a najdete ji v knize Zlatý řez opět od Maria Livia.
Hned v jejím úvodu narazíme na úlohu triviální: „Máme tabulku čokolády složenou z 12 dílků. Kolikrát ji budeme muset lámat, než od sebe oddělíme všechny dílky?“ Čtenář s neporušeným matematickým myšlením přijde se správným řešením okamžitě. Intuitivní počtář přitom ani neví, jak k němu dospěl. Nám narušeným to nějakou chvíli trvá a výsledek není nikdy jistý. (Krom toho si tabulku čokolády nikdy nelámeme, ale hltáme ji vcelku. Samozřejmě kecám. Neděláme to, i když bychom někdy chtěli.)
Podobně jako čokoláda přitahuje nás (vzdor naší vrozené deformaci) básnivost matematiky. V šuplíku máme i jednu matematickou básničku. Už jsme ji jednou vytáhli na Písmákovi (jediný literární server, kam jsme si se svými výtvory kdy troufli). A uděláme to zas. Básnička se jmenuje Dělení devíti a po dnešní úpravě vypadá přesně takhle:
1,11111
2,22222
3,33333
4,44444
5,55555
6,66666
7,77777
?,?????
!
(Devítka nás jaksi uhranula. Snad proto, že každá vícecifra dělitelná beze zbytku devíti (18, 27, 36 atd.) dá při posčítání všech svých členů zase devět, což je už nejspíš numerologie. S tou nechceme mít nic společného, protože zavání okultismem. Jistě tu bude i nějaké matematické zdůvodnění téhle zvláštnosti, ale ještě jsem na ně nenarazil. Přijít sám na ně neumím. Ale to je teď vedlejší.)
Pravděpodobně právě poezie je místem, kde se Fibonacciho čísla vyskytla poprvé, píše Mario Livio. V roce 1985 upozornil indický matematik Parmanand Singh, že Fibonacciho čísla a vztah, který je definuje, se objevují ve spisech tří indických autorit na poli mátrá-vitta už před rokem 1202, kdy Fibonacci vyjevil světu svoji číselnou řadu. (Mátrá-vitta je jednou z kategorií meter v sanskrtské a prákrtské poezii. Ne že bych ji někdy četl.) Matematikové tyto rané projevy Fibonacciho čísel v indické poezii do té doby přehlíželi.
Poezie – stejně jako hudba – je primárně určena k poslechu. Proto jsou jejími významnými stavebními prvky proporce a harmonie. Profesor klasické literatury na Princetonu G. E. Duckworth tvrdí, že „Vergilius skládal Aeneidu podle matematických poměrů; v každé knize, v základních jednotkách stejně jako v hlavních celcích, se projevuje věhlasný numerický poměr, známý jako zlatý řez.“
Dospěl k tomu tak, že změřil délky jednotlivých pasáží Vergiliovy básnické skladby a propočítal poměry těchto délek. Z toho pak odvodil, že Aeneida obsahuje „stovky poměrů zlatého řezu“. Přestože jeho analýza je založena na matematickém nedorozumění, sledujícím pouze poměr delších částí k celku, který má vždy tendenci blížit se hodnotě 1/φ = 0,618, dodnes najdeme jeho mylné tvrzení ve většině literatury o zlatém řezu.
Všechny pokusy odhalit zlatý řez v rozmanitých dílech výtvarného umění, hudby nebo poezie vycházejí z předpokladu, že existuje kánon ideální krásy, uplatnitelný v praxi. Dějiny však ukazují, že právě umělci, tvořící díla trvalé hodnoty, se od takovýchto akademických předpisů osvobozovali.
Znalost matematiky tedy může být malířům, básníkům či hudebníkům nezbytným předpokladem k tomu, aby se mohli vědomě vydat na cestu osvobozující tvorby. Jistou estetickou preferenci symetrických vzorů přitom prokázal např. pokus psychologů z Dartmouth College z roku 1977 (P.C. Szilagyi a J.C. Baird), při němž 20 vysokoškolských studentů rozmisťovalo 8 čtverečků s černou tečkou uprostřed nejprve do řady s 18ti volnými poli, pak do čtverce s 25ti a nakonec do tří horizontálních rovin krychle s 3x9ti volnými poli tak, aby výsledek působil „vizuálně příjemně“.
Při prvním úkolu vytvořilo 65% studentů dokonalé zrcadlové vzory. Souměrnost byla u většiny pokusných osob ve všech 3 případech hlavní složkou vytvořených vzorů a nejčastějším výsledkem byla dokonalá symetrie. Spojitost mezi symetrií a uměleckým citem se neprojevila jen v experimentech psychologů, ale i v teorii estetiky, rozvinuté harvardským matematikem G. D. Birkhoffem, který v roce 1912 dokázal platnost slavné geometrické věty formulované francouzským matematikem H. Poincarém.
Birkhoff se během studia začal zajímat o strukturu hudby a svůj zájem rozšířil i na obecnou estetiku. Intuitivní pocit hodnoty uměleckého díla má za „jasně rozlišitelný od smyslového, emocionálního, morálního a intelektuálního cítění.“ Estetickou zkušenost rozděluje do tří fází: v první jde o úsilí soustředit pozornost nezbytnou k vnímání; ve druhé dochází k rozpoznání přítomnosti určitého řádu ve sledovaném objektu a k uvědomění jeho výjimečnosti; třetí fáze, která je odměnou za předchozí duševní úsilí, pak spočívá v pochopení a ocenění hodnoty objektu.
Birkhoff tyto tři fáze kvantifikuje a přiděluje jim zvláštní symboly. Symbolem C (Complexity) označuje složitost díla. Řádu vyznačujícímu se symetrií přiděluje písmeno O (Order). Pocitu hodnoty (estetické míře) přiděluje písmeno M (Measure). Pro výpočet pocitu estetické hodnoty pak používá jednoduchý vzorec M = O/C. Převeden z jazyka matematiků do řeči prostého lidu tento vzorec říká, že pro daný stupeň složitosti objektu je estetická míra tím vyšší, čím více řádu objekt vykazuje. Pro daný stupeň řádu je estetická míra naopak vyšší, je-li objekt méně komplikovaný. A protože řád je určen především symetriemi objektu, stává se podle Birkhoffovy teorie souměrnost rozhodujícím estetickým prvkem.
Z matematického pohledu se zdá vše uzavřeno. Na potíže začneme narážet při pokusech určit přesné definice veličin O, C, a M. Birkhoff začal u jednoduchých geometrických tvarů, pokračoval ornamenty a čínskými vázami, harmonií diatonické stupnice a svou práci uzavřel analýzou poezie Tennysona, Shakespeara a Amy Lowellové, kterou jsem ovšem nečetl a nejspíš sotvakdy budu.
Jakou estetickou hodnotu by přiřkl následujícím veršům teď nechci domýšlet:
Tam, kde mi z trojmoci a neznámé
vzejde součtem celé číslo dané:
najdu dvě čísla tak odlišná o daná místa;
jejich součin pak, to je věc jistá,
je třetinou na třetí z neznámé naší.
Zbytek z její třetí odmoci pak řeším,
a správně-li odečtu, vím-li jak,
vyjde další neznámá, je to tak. (překl. Petr Holčák)
Matematikovi je význam říkanky zjevný, my zbylí se prozatím spokojme s tím, že proslulý benátský učitel matematiky známý pod přezdívkou Tartaglia (Kokta) si v roce 1535 (pro snazší zapamatování) takto zveršoval svůj právě objevený postup při řešení kubických rovnic. (Přesně vzato: takto ne, neuměl česky. Což mi připomíná, že při procházce, během níž se Majda otřela o jedno velmi výživné lejno mi došlo, proč jsem strávil skoro 15 minut snahou ověřit si platnost prosté Birkhoffovy rovnice. Největší potíž mi při tom dělalo neustálé přiřazování jím zvolených symbolů příslušným veličinám.
Překládám si tedy pro sebe do češtiny: S = složitost, RS je řád vyznačují se symetrií a EM případně PH či EU je estetická míra neboli pocit hodnoty (estetický účinek) díla (objektu). Pokud bych nesměl překládat a musel pracovat s uvedenými symboly, u O bych si nejspíš představil osu, jako symbol a základní prvek symetrie; u C asi řetězce všelijak propletených Céček a M bych bral prostě jako míru. Dosadíme-li za S jedničku, máme EM (PH či EU) = RS/1 a celkem snadno si pak odvodíme platnost prvního tvrzení. Dosadíme-li jedničku za RS, máme EM (PH či EU) = 1/S a pravdivost druhého tvrzení je hned zjevná.)
Tartaglia se díky svým kubickým rovnicím (ax3 + bx = c; ax + b = x3 a x3 + ax2 = b) stal matematickou celebritou a jeho řešení neuniklo pozornosti Gerolama Cardana, milánského lékaře, fyzika, matematika, astrologa, hazardního hráče a filosofa, jemuž hlavní zdroj financí během studentských let přinášely celkem logicky hazardní hry (karty, kostky a šachy). Ve své autobiografii se prý Cardano vyžívá ve zbytečně podrobném popisu všech svých zdravotních problémů, jež prodělal v první části života, včetně impotence mezi 21. a 31. rokem. Snad proto, že kromě matematiky a klasických studií se na universitách v Padově a Pavii věnoval také medicíně. Svoji hráčskou vášeň zúročil spiskem Liber de ludo aleae (Kniha o hře v kostky), prvním známým pojednáním o výpočtech pravděpodobnosti.
Podle všeho byl Cardano i prvním lékařem, uznávajícím hráčskou vášeň jako projev nemoci. Do lékařského stavu byl kupodivu přijat až po svém nevybíravém útoku na velkopanské manýry tehdejších lékařů. Ti se podle něj více než znalostmi a zkušenostmi honosili svými způsoby, lokaji, kočáry, oděvy, módním vzhledem a tajnůstkářstvím. Když se Cardanovi nepovedlo rozlousknout kubické rovnice vlastními silami, obrátil se na samotného Tartaglia s poznámkou, že by jeho řešení s radostí uvedl ve své chystané sbírce aritmetických cvičení. Tartaglia to ovšem odmítl, ale nechal se zlákat k návštěvě Milána.
Čtenář, dychtící zvědět více o dalším osudu Tartagliových rovnic, v němž se příkladně zrcadlí problémy duševního vlastnictví a autorských práv k vědeckým informacím, nechť případně nahlédne do Liviovy knihy. My se totiž vrátíme zpět k Birkhoffovi, resp. k symetrii a vytváření souměrných struktur pomocí opakujícího se motivu, které vždy přináší uklidňující pocit něčeho důvěrně známého a bezpečného.
Elementárním příkladem symetrické transformace je posunutí neboli translace. (Pro bývalého skoropřekladatele je to milé zjištění. Pozdě, ale přece.) Z hlediska geometrie znamená translace (doslova přenos z lat. translatio od transferre – přenášet) nahrazení nebo posun objektu o určitou vzdálenost podél určité linie. Translační symetrii vykazují pravidelné vzory, v nichž se stejné téma opakuje ve stálých intervalech. Takové (translačně symetrické) ornamenty se prý dají vysledovat až do období paleolitu (17 tis. let p.n.l.).
Cestou na schůzku se sociální pracovnicí (v 11:10) mi dojde, že Majda dnes ještě nejedla. Vzhledem k tomu, že já také ne, nechám to plavat. Dám si polévku během schůzky a Majda dostane, až se vrátíme. V kavárně se neplánovaně rozšoupnu a dopřeju si ještě nealko koktejl a presso s koláčem. Celkem za 145,- Kč. Daň za 2. krok k případné resocializaci v rozvinuté fázi stále mírnějšího psychotického procesu. Dříve bych ji zval (ve shodě s psychiatry) manickou, dnes říkám jí třeba živější nebo otevřenější. (To máte jako u kytek. A jako vlastně u všeho, co žije, dýchá, poletuje světem. A nenechá se polapit do všech těch tak umně nastražovaných nám civilizačních pastí.)
A taky troufl jsem si dnes poprvé veřejně předvést svou ještě nedotvořenou bláznovskou čepičku a teprve cestou ze schůzky naplno vnímal příjemné, osvěžující a přitom konejšivé cinkání symetricky rozmístěných rolniček. Zdá se, že na matematiku je spolehnutí. S námi lidmi (i se psy) už je to horší. Majda stihla se cestou otřít o další hovno a já teď zas předčasně (a k úlevě nejednoho čtenáře) ukončím tenhle blog, takže o tom, jak se dá zlatý řez či Fibonacciho čísla využít k výstavbě formy, osnovy nebo rytmu básní, o básnické struktuře slavných děl vystavené na číselném základě a o úloze matematiky v dílech Mozarta či Bacha si budete muset ve zmiňovaných knihách (Mario Livio: Zlatý řez, Neřešitelná rovnice) přečíst sami. Budete-li mít ještě chuť. Mne zatím nepřešla.
Za básníky se dnes rozloučím následující veršovánkou J. A. Lindona opět v překladu Petra Holčáka, narážející prý na rekurzivní (co to, sakra, je?) charakter Fibonacciho posloupnosti:
Fibonacci, ten si žil,
pět manželek uživil.
Každá těžká jak dvě před ní,
ten se prohnul pod poslední!
Osobně mám ale dojem, že tohle čtyřverší naráží na něco jiného. No vidíte, a přitom neuživím ani sám sebe!
pozn.: rekurze návrat mluvidel do klidu (z lat. recursio); a už kuš!